ધારો કે S_n = 1 + q + q^2 + ..... + q^n અને T | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $S_n = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$. પદાવલિ $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1}$ છે.$S_{r-1} = \frac{q^r-1}{q-1}$ મૂકતા,આપણને મળે $\sum_{r=

Vedclass · Accepted Answer

$2^{100}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $S_n = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$. પદાવલિ $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1}$ છે.$S_{r-1} = \frac{q^r-1}{q-1}$ મૂકતા,આપણને મળે $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \frac{q^r-1}{q-1} = \frac{1}{q-1} \left( \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} q^r - \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \right)$.દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} q^r = (1+q)^{101} - 1$ અને $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} = 2^{101} - 1$.આમ,પદાવલિ $\frac{1}{q-1} ((1+q)^{101} - 1 - (2^{101} - 1)) = \frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{q-1}$ બને છે.હવે,$T_{100} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q+1}{2} - 1} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q-1}{2}} = \frac{2((q+1)^{101} - 2^{101})}{2^{101}(q-1)} = \frac{(q+1)^{101} - 2^{101}}{2^{100}(q-1)}$.$\frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{q-1} = \alpha \cdot \frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{2^{100}(q-1)}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = 2^{100}$ મળે છે.

Similar Questions

શ્રેણી $1 + \frac{4}{3} + \frac{10}{9} + \frac{28}{27} + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

શ્રેણી $1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ ના અનંત પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $x_1, x_2, \dots, x_n$ અને $\frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \dots, \frac{1}{h_n}$ એ બે સમાંતર શ્રેણીઓ $(A.P.)$ એવી રીતે હોય કે $x_3 = h_2 = 8$ અને $x_8 = h_7 = 20$,તો $x_5 \cdot h_{10}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module